格点规范理论是现代物理研究的核心工具之一，不仅在量子色动力学中被广泛应用于研究夸克禁闭和强子结构，也在凝聚态物理中用于描述拓扑序、量子自旋液体等强关联系统。

近年来，随着量子模拟技术的快速发展，格点规范理论已成为超冷原子、离子阱、超导量子芯片等量子模拟平台的重要研究对象，为实现格点规范系统的量子调控提供了新路径。

传统蒙特卡洛方法在平衡态模拟中取得了巨大成功，但在处理有限费米子填充和实时动力学问题时受限于“符号问题”，存在局限性。发展更强有力的经典数值方法，为量子模拟提供可靠基准并推动高维规范理论的深入理解，成为一项迫切需求。

张量网络方法作为一种无符号问题的经典模拟手段，在（1+1）维体系中已发展成熟，尤其是矩阵乘积态（MPS）已成为可靠工具。然而，在更高维的（2+1）维系统中，投影纠缠对态（PEPS）虽具备理论优势，却因高维复杂性和规范约束的严格性，其算法实现和数值优化一直是领域内的巨大挑战。

近日，浙江大学物理高等研究院刘文渊研究员和中科院物理所武琰涛研究员在这一难题上取得重要突破，建立了适用于（2+1）维格点规范理论的张量网络方法计算框架，相关成果以“Accurate Gauge-Invariant Tensor Network Simulations for Abelian Lattice Gauge Theory in (2+1)D: Ground State and Real-Time Dynamics”为题发表于《Physical Review Letters》（Phys. Rev. Lett. 135, 130401 (2025).）。

该研究基于规范不变的张量网络态，提出了一种规范正则形式，并结合变分蒙特卡洛方法（variational Monte Carlo），成功突破了（2+1）D规范不变PEPS的算法瓶颈。利用该方法，他们实现了对Z₂、Z₃、Z₄规范理论、Odd Z₂理论以及耦合硬核玻色子的Z₂理论的高精度基态模拟，模拟尺寸高达32x32格点。他们进一步将该方法扩展到实时动力学研究，展现其独特优势。

以Odd Z₂规范理论为例，通过计算价键固体序参量和Wilson loop算符的期望值，精确确定了相变点g_c=0.64(1)。同时，在32×32格点的体系上清晰揭示了其由退禁闭相到禁闭相的连续相变过程，并发现禁闭相破缺了平移对称性，与理论预期相符。这展示了该方法在捕捉非定域算符和对称性破缺方面的强大能力。

图1：价键固体的局域序参量在32x32体系上的分布。左图代表退禁闭相，右图代表禁闭相。

在实时动力学模拟方面，本文首次将时间依赖的变分蒙卡应用于PEPS，成功模拟了10×10格点上Z₂规范场中拓扑激发的长时间传播动力学，展现了该方法在模拟大规模、长时程量子动力学方面的卓越能力，为研究非平衡态格点规范系统开辟了新途径。

图2: Z₂规范理论拓扑激发vison在10x10体系中的实时动力学演化行为。

该研究所建立的规范不变的张量网络计算框架，不仅在基态和动力学模拟中达到了前所未有的精度和规模，也为非微扰研究（2+1）维阿贝尔规范理论提供了强大而灵活的工具。这一方法未来有望推广至非阿贝尔规范场和费米子物质系统，将对规范场论的研究和量子模拟平台的基准测试产生深远影响。

该论文作者为中科院物理所武琰涛研究员和浙江大学物理高等研究院刘文渊研究员，两人对本文具有同等贡献。 

论文链接：https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/3m3j-ds18